Решение уравнений с модулями

Модулем действительного числа а (абсолютной величиной числа а) называют расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета и обозначают │а│.

Основные свойства модуля

Решение уравнений

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

• раскрытие модуля по определению;

• возведение обеих частей уравнения в квадрат;

• метод разбиения на промежутки.

Пример 1.

Решение : 2х-3=5 или 2х-3=-5

х=4 х=-1

Ответ: -1; 4.

Пример 2.

Решение: х² - х = 6 или х² – х = -6

х² – х – 6 = 0 х² – х + 6 = 0

х₁=-2; х₂=3 корней нет

Ответ: -2;3.

Пример 3.

Решение: х² + х + 1 = 0

корней нет, так как дискриминант уравнения меньше нуля.

Ответ: корней нет.

Пример 4.

Решение: корней нет, так как -2<0.

Ответ: корней нет.

Пример 5.

б). | x²–8 |= 1

x²–8 = 1 или x²–8 = –1

x²=9; x²=7

х_1,2=± 3 х_3,4 = ±

Ответ: ± 3; ± .

Алгоритм решения уравнения

1 способ. По определению модуля действительного числа уравнение равносильно совокупности

2 способ. Уравнение равносильно смешанной системе

Пример 5.

Решение:

Ответ: -1.

Пример 6.

Решение:

Ответ: -3; 1; 3.

Пример 7.

Решение:

Ответ: -3;3.

Алгоритм решения уравнения .

1 способ. Уравнение вида равносильно совокупности систем

2 способ. Воспользуемся четностью функции . Нули этой функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а – корень, х = -а -тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные найденным корням.

Пример 1.

Решение:

Ответ: -2;2.

Пример 2.

Решение:

Ответ: -2;2.

Пример 3.

Решение: Ответ: корней нет.

Алгоритм решения уравнения .

Уравнение данного вида равносильно совокупности

Пример 4.

Решение:

Ответ:

Пример 4.1. Решить уравнение 2х-3 = х+7.

Решение. Так как обе части уравнения неотрицательны, то при возведении в квадрат обеих частей, получим уравнение равносильное данному.

Теорема. Если обе части уравнения f₁(x) = f₂(x), где f₁(x) f₂(x) 0, при всех значениях переменной из области определения уравнения (неравенства), возвести в одну и ту же натуральную степень n , то получится уравнение

(f₁(x))ⁿ = (f₂(x))ⁿ равносильное данному:

(2х-3)²=(х+7)². Получили квадратное уравнение, решая которое находим

х₁ = 10, х₂ = -43.

Замечание. 1. Уравнение вида f(x) = b, где b действительное число,

при b  0 решений не имеет;

при b = 0 равносильно уравнению f(x) = 0;

при b  0 равносильно совокупности уравнений f(x) = b, f(x) = -b.

2. Уравнение вида f₁(x) = f₂(x) равносильно уравнению (f₁(x))² = (f₂(x))²

Пример 5.

Решение:

Ответ: 2.

Алгоритм решения уравнения

Уравнение данного вида равносильно системе

Пример 6.

Решение:

Ответ: 2.

Алгоритм решения уравнения

Для решения уравнения выполним следующую последовательность шагов:

• найдем нули всех подмодульных выражений;

• отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;

• на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражения и раскроем модули по определению;

• составим и решим совокупность смешанных систем.

Пример 7.

Решение: 1)

2)

3)

Ответ: -1.

Пример 8.

Решение: 1)

2)

3)

Ответ: .

Пример 8.1. Решить уравнение 3-х - х+2 = 5.

Решение.

1. Найдем значения переменной, обращающие в нуль выражения стоящие под знаком модуля, для чего решим уравнения 3-х=0 и х+2=0, откуда получаем х₁= 3, х₂= -2.

2. Нанесем эти значения на числовую прямую, тем самым, разбив ее на три промежутка.

-2 3

3. Определим знак каждого из выражений, стоящих под знаком модуля на каждом из полученных промежутков числовой прямой:

3-х + + -

х+2 - -2 + 3 +

4. Решим уравнение с учетом полученных знаков на каждом промежутке числовой прямой:

   1. если х -2, имеем уравнение 3-х + х+2= 5, решив его получим верное числовое равенство 5 = 5, которое не зависит от переменной, но так как мы рассматривали это уравнение только для х -2, то первоначальному уравнению будут удовлетворять только х -2.

   2. если -2  х  3, имеем уравнение 3 - х – х – 2 = 5, решив его, получим х=-2, причем –2 входит в рассматриваемый промежуток.

   3. если х  3, имеем уравнение -3 + х – х -2= 5, решая его, получим числовое равенство -5 = 5, которое ни при каких значениях неизвестных не является верным.

5. Объединим решения найденный на каждом из промежутков: из п.1 имеем промежуток (-; -2); из п.2 имеем х = -2.

6. Ответ: (-; -2.

Пример 9.

Решение:

Ответ:

Самостоятельная работа. Часть 1.

Ответы: I вариант. 1)4; -2; 2)4; 3)нет корней; 4) 1.

II вариант. 1)-1;-7/3; 2)4; 3)нет корней; 4)4;1+√3.

Самостоятельная работа. Часть 2.

Ответы: I вариант.

II вариант.